Font Size

SCREEN

Profile

Layout

Direction

Menu Style

Cpanel

معرفی

خرید پرسشنامه، دانلود پرسشنامه، تدوین مقاله روانشناسی، پایان نامه روانشناسی ، پرسشنامه رایگان روانشناسی، تحلیل آماری، تدوین کتاب با قیمتی ارزان

خدمات آمارکده

پایان نامه ، مقاله ، تحلیل آماری ، ساخت و فروش پرسشنامه ، نشر کتاب ، ترجمه ، صفحه آرایی و ویرایش پایان نامه و ...

راه های تماس با آمار کده

تلفن تماس: 09364126317

ایمیل

این آدرس ایمیل توسط spambots حفاظت می شود. برای دیدن شما نیاز به جاوا اسکریپت دارید

آموزش آمار و احتمالات

برای دریافت پایان نامه و پرسشنامه به مرکز پزوهشی آمارکده مراجعه کنید  

  آمار و احتمالات مهندسی                      

 

 

 

رشته : کامپیوتر و الکترونیک

 

 

 

 

 

گردآوری و تدوین : یونس زهره وند

عضو هیئت علمی دانشگاه آزاد اسلامی واحد تویسرکان

 

 

1388

فهرست مطالب

فصل اول : آمارتوصیفی

1. مقدمه ..........................................................................................................5

2. تعاریف مقدماتی .............................................................................................5

3. آمار توصیفی .................................................................................................7

1-3. جداول توزیع فراوانی ...............................................................................7

2-3. شاخص های عددی ..................................................................................9

3-3. برخی نمودارهای آمار توصیفی ................................................................ 15

           4-3. مباحث تکمیلی .......................................................................................19

      4. تمرینها .........................................................................................................21

      5. پرسشهای چهارگزینه ای ...................................................................................22

فصل دوم : مبانی احتمال و پیشامدهای تصادفی

1. مقدمه .................................................................................................................23

       2. تعاریف مقدماتی و جبر مجموعه ای پیشامدها .........................................................23

       3. تعریف احتمال پیشامدها ....................................................................................26

        4. آنالیز ترکیباتی و قوانین شمارش   .......................................................................29

                   1-4. اصول شمارش ................................................................................29

                   2-4. فرمولهای شمارش ............................................................................30

                   3-4. شمارش با مدل جعبه مهره ..................................................................31

        5. احتمال شرطی و قانون ضرب احتمالات ...............................................................32

        6. قضیه بیز و کاربرد آن .....................................................................................34

7 . تمرینها ................................................................................................................36      

8. پرسشهای چهارگزینه ای ...........................................................................................37

فصل سوم : متغیر های تصادفی، تابع احتمال، تابع توزیع و تابع چگالی احتمال

      1 . مقدمه ........................................................................................................... 38

       2 . مفهوم متغیر تصادفی و انواع آن ........................................................................ 38

      3. تابع احتمال ..................................................................................................... 40

      4 . تابع توزیع ......................................................................................................42

      5. توزیع احتمالات پیوسته و تابع چگالی احتمال ........................................................... 44

      6. توزیع توام متغیرهای تصادفی ..............................................................................48

      7. تمرینها ...........................................................................................................57

      8. پرسشهای چهارگزینه ای .....................................................................................58

   

فصل چهارم : امید ریاضی، واریانس، کوواریانس و همبستگی متغیرهای تصادفی

       1 . مقدمه ..........................................................................................................59

       2 . مفهوم امید ریاضی .........................................................................................59

       3. ویژگیهای امید ریاضی .....................................................................................60

       4. مفهوم واریانس و ویژگیهای آن ...........................................................................63

       5. مفهوم کوواریانس دو متغیر تصادفی و ویژگیهای آن ................................................63

        6. مفهوم همبستگی دو متغیر تصادفی و ویژگیهای آن..................................................65

66        7. تمرینها .......................................................................................................

       

 فصل پنجم : چند متغیر تصادفی خاص

1 . مقدمه ............................................................................................................... 68

2 . متغیرهای تصادفی گسسته مهم

                 2-1 . متغیر تصادفی یکنواخت گسسته ...........................................................68

                2-2 . متغیر تصادفی دو جمله ای ..................................................................69

                 2-3. متغیر تصادفی پواسون .......................................................................70

                 2-4. متغیر تصادفی هندسی ........................................................................71

                 2-5. متغیر تصادفی فوق هندسی .................................................................72

      3 . متغیرهای تصادفی پیوسته مهم

                 3-1 . متغیر تصادفی یکنواخت پیوسته .........................................................73

                 3-2 . متغیر تصادفی نمایی .......................................................................75

                 3-3. متغیر تصادفی نرمال .......................................................................75

                 3-4. متغیر تصادفی نرمال استاندارد ...........................................................77

     4. تمرینها

 

 

                                

 

                   ........................................................................................................79

فصل اول

آمار توصیفی

 

1 . مقدمه

      واژه  آمار معنی تحت لفظی کلمه  Statistics  است.  Statistics در لغت به معنی عدد و رقم و در مفهوم علمی به علم جمع آوری و تجزیه و تحلیل داده ها اطلاق می گردد. منظور از Data یا داده ها مقادیر ثبت شده متغیرها، آزمایشهای علمی، رخدادها و ... در علوم مختلف است. در حقیقت در اکثر شاخه های مختلف علوم، داده های خام تولید می شود که محققین جهت کشف اطلاعات یا دانش نهفته در این داده های خام، نیازمند بکار گیری دانش آمار و آماردانان می باشند.

  در عصر حاضر کمتر روزی وجود دارد که از آمار، گزارشات آماری  یا مفاهیم مربوطه در رسانه ها، مجلات و روزنامه ها چیزی نشنویم یا نبینیم. تحلیلهای آماری جزء لاینفک گزارشات مدیران، کارشناسان و محققین علوم مختلف است.

  

2. تعاریف مقدماتی

1.2. جامعه یا جمعیت آماری

به مجموعه ای از افراد، اشیاء، حیوانات و ... که می خواهیم یک یا چند ویژگی آنها را بررسی نماییم، جامعه یا جمعیت آماری گفته می شود. مانند؛

- جامعه پرایدهای مدل 1388 کارخانه سایپا به لحاظ میزان مصرف بنزین در صد کیلومتر.

 - جمعیت ماهیهای خاویاری دریای خزر در حال حاضر از نظر میزان خاویار موجود در شکمشان.

- تعداد نوزادانی که از این پس در همدان متولد می شوند.

- میزان طول عمر لامپهای مختلف تولید شده در یک کارخانه و ....

   جوامع آماری ممکن است متناهی یا نا متناهی باشند. همچنین جوامع نامتناهی ممکن است شمارش پذیر یا ناشمارا باشند. در مثالهای فوق، جوامع 1 و 2 متناهی و جمعیت 3 نامتناهی  شمارش پذیر (در اینجا کمی گسسته) و جمعیت 4 نامتناهی ناشمارا (در اینجا کمی پیوسته) هستند.

2.2. نمونه و نمونه گیری

   معمولا در بررسی جوامع آماری به دلیل بزرگ بودن آنها، بجای مطالعه و بررسی تمام عناصر جمعیت (سرشماری یا تمام شماری)، قسمتی از آن را به عنوان نمونه یا نماینده جامعه مطالعه می نمایند (نمونه گیری).  سپس نتایج تحلیلها را به کل جمعیت تعمیم می دهند. این عمل مصداق ضرب المثل "مشت نمونه خروار" می باشد. البته در تعمیم نتایج از نمونه به جامعه باید احتیاط کرد. زیرا هر مشتی نمونه مناسبی از خروار مربوطه نیست. لذا با توجه به ماهیت جامعه و متغیر مورد بررسی، باید از روش نمونه گیری مناسب استفاده نمود. روشهای بسیار متنوعی برای نمونه گیری از جوامع وجود دارد. مثل نمونه گیری از جوامع همگون یا یکنواخت، نمونه گیری از جوامع طبقه ای(نمونه گیری از افراد با تحصیلات، رشته های تحصیلی، جنسیت و... مختلف)، نمونه گیری از جوامع خوشه ای، نمونه گیری از جوامع سیال (حیوانات)، نمونه گیری از جوامع فرار (جامعه معتادان)  و سایر روشهای نمونه گیری که در رشته آمار حدود 9 واحد درسی برای دانشجویان اختصاص به این مطلب دارد. برخی از مهمترین روشهای نمونه گیری عبارتند از:

نمونه گیری تصادفی ساده، نمونه گیری با طبقه بندی، نمونه گیری خوشه ای، نمونه گیری سیتماتیک، نمونه گیری صید و باز صید، نمونه گیری گلوله برفی.

3.2. متغیر و انواع آن

  منظور از متغیر، صفت یا مشخصه ای است که از هرعنصر جامعه به عنصر دیگر قابل تغییر باشد. مثل: جنسیت، قد، وزن، نمره، رنگ، درآمد، رتبه فرد در صف یا در یک جمعیت، نرخ تورم و بهره، دما، سرعت و ...

متغیرهای زیادی در طبیعت ودر شاخه های مختلف علم، وجود دارند و دسته بندیهای مختلفی از نقطه نظر های متفاوت ارائه شده اند. معمولا متغیرها را از نظر ماهیت به رده های: اسمی و کیفی، رتبه ای یا ترتیبی و کمی تقسیم می کنند.

1. متغیرهای اسمی و کیفی:

 در اینگونه از متغیرها، اعداد فقط نشاندهنده یک اسم یا کد هستند و دارای ارزش کمی عددی نیستند. مثل؛ جنسیت: زن..... مرد..... (کد 1 برای زن و کد 2 برای مرد)

.....(با کدهای 1 تا 4) A..... B .....AB ..... Oگروه خون:  

متغیرهای کیفی مانند رنگ، طعم، میزان شادی یا خوشحالی و...

 

2. متغیرهای ترتیبی یا رتبه ای:

    در اینگونه از متغیرها، اعداد فقط بیانگر ترتیب یا الویت داده ها هستند و دارای ارزش کمی عددی نیستند. مثل رتبه افراد در یک کلاس، یا در کنکور یا در یک صف. به عبارت دیگر اگر رتبه یک فرد در کلاس 1 باشد (با معدل 19) لزوما معدل وی دو برابر بهتر از نفر رتبه دوم کلاس نیست. زیرا ممکن است معدل نفر دوم کلاس 18.75 باشد.

3. متغیرهای کمی: 

  در اینگونه از متغیرها، اعداد نشاندهنده میزان یک کمیت در داده ها هستند. دو نوع متغیر کمی داریم:

- متغیر کمی گسسته؛ که نشانگر تعداد یا شماره است. مانند ؛ تعداد عناصر یک جامعه، تعداد فرزندان یک خانوار، تعداد روزهای بارانی در ماههای مختلف سال، شماره دانشجویی یا شماره شناسنامه و...

- متغیر کمی پیوسته؛ که شامل بازه یا زیر مجموعه پیوسته ای از اعداد حقیقی هستند. مانند؛ قد، وزن، نمره، درآمد، طول عمر، مقدار جریان الکتریکی، ولتاژ، نرخ تورم و بهره، دما، سرعت و...

نکته 1. معمولا متغیرهای اسمی ، کیفی، رتبه ای و کمی گسسته را رسته ای و متغیر کمی پیوسته را غیر رسته ای می گویند. در واقع در متغیرهای رسته ای تعداد و فرم رسته ها برای داده ها حتی قبل از رده بندی آنها مشخص است. مثلا در داده های نمونه ای مربوط به متغیر جنسیت یا گروه خونی رده های متغیرها از قبل مشخص هستند. اما در متغیرهای غیررسته ای مانند قد، وزن، نمره، درآمد و.... چنین نیست و تعداد و فرم رسته ها برای یک سری از داده ها بر اساس حجم نمونه و میزان پراکندگی آنها معین می شود. مثلا اگر دو نمونه مختلف از قد دانشجویان دو کلاس مختلف داشته باشیم، ممکن است تعداد رده ها (برحسب تعداد نمونه ها) و فرم رده بندی آنها (برحسب میزان پراکندگی داده ها) متفاوت باشند.

 همانطور که گفته شد آمار علم تجزیه و تحلیل داده ها و مدلسازی رفتار و روابط بین متغیرها است. آمار از نظر سطح تجزیه وتحلیلهای ارائه شده و کاردکرد به دو بخش تقسیم می شود:

- آمار توصیفی: به بررسی و تحلیل عمومی داده ها و توصیف کلی آنها می پردازد. هدف اصلی آمار توصیفی خلاصه کردن داده های خام ارائه تحلیلهای آماری در سطح عامه مردم است. معمولا بخشی از گزارشات آماری مربوط به مباحث آمار توصیفی است.  

- آمار استنباطی: با استفاده از روشهای تخصصی آماری، به تجزیه و تحلیل دقیق داده ها و بررسی و مدلسازی روابط بین متغیرها می پردازد. آمار استنباطی با مفهوم احتمال (فصل دوم به بعد) آغاز می شود و بسیاری از روشهای مدلسازی آماری را شامل می شود.

3. آمار توصیفی

هدف اصلی آمار توصیفی خلاصه کردن و توصیف کلی داده های خام و ارائه تحلیلهای آماری در قابل فهم برای عامه مردم است. این کار از3 طریق زیر ارائه می شود؛

جداول توزیع فراوانی    -

- معیارها و شاخص های عددی آمار توصیفی

- نمودارهای آمار توصیفی

1-3. جداول توزیع فراوانی

الف) جداول توزیع فراوانی متغیرهای رسته ای

جداول فراوانی متغیرهای رسته ای به سادگی و با تعیین مقادیر، فراوانی مطلق، فراوانی تجمعی، فراوانی نسبی و فراوانی نسبی تجمعی بدست می آید.

مثال 1: گروه خونی 30 نفر از دانشجویان یک کلاس به شرح زیر است. جدول فراوانی این داده ها را رسم نمایید.

O, O, A, A, A, O, B, A, O, AB, A, O, B, A, O, O, A, AB, B, B, A, O, O, B, O, O, A, B, A, O.

رده ها

فراوانی مطلق

فراوانی تجمعی

 فراوانی نسبی

 فراوانی نسبی تجمعی

A

10

10

0.33

0.33

B

6

16

0.2

0.53

O

12

28

0.4

0.93

AB

2

30

0.07

1

جمع

30

 

1

 

مثال 2: تعداد فرزندان 40 خانوار در یک روستا به صورت زیر است. جدول فراوانی این داده ها را رسم نمایید.

3, 3, 5, 2, 0, 6, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 5, 8, 4, 2, 4, 3, 4, 4, 5, 6, 4, 5, 6, 0, 1, 0, 5, 2, 4, 4, 3, 3, 4, 5, 4, 4, 4, 1.

رده ها

فراوانی مطلق

فراوانی تجمعی

 فراوانی نسبی

 فراوانی نسبی تجمعی

 0 فرزندی

3

3

0.075

0.075

1

4

7

0.1

0.175

2

4

11

0.1

0.275

3

8

19

0.2

0.475

4

11

30

0.275

0.75

5

6

36

0.15

0.9

6

3

39

0.075

0.975

8

1

40

0.025

1

جمع

40

 

1

 

تمرین. اگر رنگ کالاهای تولیدی یک کارخانه با شش کد رنگ A تا F مشخص شده باشد و مقادیر زیر تولیدات روز قبل این کارخانه بر حسب سفارش مشتری باشد، جدول فراوانی داده ها را بدست آورید.

A,A,D,F,B,A,A,C,D,D,D,A,B,A,F,D,B,F,B,F,C,F,A,A,B,A,C,D,A,D,C,B,A

ب) جداول توزیع فراوانی متغیرهای غیررسته ای (کمی پیوسته)

برای رسم جداول توزیع فراوانی متغیرهای غیررسته ای، ابتدا باید مقادیر زیر را محاسبه نمود.

1- تعداد رده ها:

نکته  2: اگر K عددی اعشاری بشود باید آن را به سمت پایین گرد نماییم یعنی اعشار آن را حذف کنیم.

2- دامنه تغییرات:

که در آن دلتا کوچکترین رقم دقت در داده هاست.

3- طول هر رده:

مثال 3: نمرات ریاضی 30 دانشجو در یک کلاس به صورت زیر است. جدول فراوانی این داده ها را رسم نمایید.

7, 7.5, 8, 8, 9.1, 9.2, 9.5, 10, 10, 10.5, 10.5, 11, 11, 11.3, 11.5, 11.7, 12, 12, 12.5, 12.8, 12.9, 12.9, 13, 13, 14, 14.5, 14.6, 15, 16, 16.9

حل: داریم

لذا

رده ها

 نشان رده

فراوانی مطلق

فراوانی تجمعی

 فراوانی نسبی

 فراوانی نسبی تجمعی

6.95—8.95

7.95

4

4

0.13

0.13

8.95—10.95

9.95

7

11

0.23

0.36

10.95—12.95

11.95

11

22

0.37

0.73

12.95—14.95

13.95

5

27

0.17

0.9

14.95—16.95

15.95

3

30

0.1

1

جمع

 

30

 

1

 

تمرین. اگر قیمت نفت بر حسب دلار در 25 روز قبل به صورت زیر باشد، جدول فراوانی این داده ها را رسم نمایید.

86-88-88-90-90-91-93-94-95-95-95-96-97-97-98-98-98-98-99-99-100-103-103-104-105

2-3. شاخص های عددی

2-3-1: شاخصهای گرایش به مرکز یا تمرکز:

- میانگین ها: شامل میانگین حسابی ساده، حسابی وزنی، هندسی و هارمونیک.

- میانه:

- مد یا نما:

- چندک ها:

2-3-2: شاخصهای پراکندگی:

- دامنه تغییرات     

- واریانس و انحراف معیار

  1. 1.     میانگین (Mean)

الف) میانگین حسابی ساده:

 فرض کنید نمونه مورد بررسی دارای n عضو                      باشد. میانگین حسابی ساده از رابطه زیر بدست می آید:                        

و اگر داده هر رده بندی شده باشند داریم:

که در آن فراوانی مطلق رده i ام و  نشان رده i ام است.

تمرین.  در تمرین قبل میانگین قیمت نفت را بدست آورید.

 

ب) میانگین حسابی وزنی:

فرض کنید نمونه مورد بررسی دارای n عضو                      باشد. و وزن هر کدام از  ها   باشد. میانگین حسابی وزنی از رابطه زیر بدست می آید:

 البته باید:  .

کاربرد میانگین وزنی در محاسبه معدل نمرات دروس یک دانشجو با وزن های متفاوت و یا مثلا محاسبه میانگین تورم در سبد کالای مصرفی خانوار و ... می باشد.

نمره

واحد

درس

16

3

آمار

17

4

ریاضی

15

4

ماشین

19

3

مدار الکتریکی

20

1

تربیت بدنی

مثال. مطلوبست محاسبه معدل نمرات یک دانشجو:

=(3/15)*16+(4/15)*17+(4/15)*15+(3/15)*19+(1/15)*20=16.8                   

مثال. اگر قیمت نفت در هر بشکه در کشورهای ایران، عربستان، امارات، عراق، ونزوئلا، کویت و قطر و بحرین به ترتیب 105، 110، 103، 100، 111، 106،105 و 101 دلار و سهمیه آنها به ترتیب برابر  10 درصد، 33 درصد، 12 درصد، 15 درصد، 8 درصد، 13 درصد و 9 درصد باشد، میانگین قیمت سبد نفتی این کشورها را محاسبه نمایید.

ج) میانگین هندسی:

     فرض کنید نمونه مورد بررسی دارای n عضو                      باشد. میانگین هندسی از رابطه زیر بدست می آید:

و اگر داده ها جدول بندی شده باشند از رابطه زیر بدست می آید:

نکته 3: میانگین هندسی برای محاسبه متوسط داده های رشد استفاده می گردد.

مثال. اگر میزان رشد جمعیت در 5 سال اخیر در کشور به صورت زیر باشد میانگین رشد جمعیت در این دوره چقدر است؟

3.5 و 3 و 3  و 2.8 و 3

داریم

 د) میانگین هارمونیک:

فرض کنید نمونه مورد بررسی دارای n عضو                      باشد. میانگین هارمونیک از رابطه زیر بدست می آید:

      

مثال 4: در یک کارگاه تراشکاری یک قطعه خاص به وسیله سه رایانه در زمان های              ساعت تراش داده می شود. میانگین هارمونیک زمان برش را محاسبه کنید.

    

نکته 4: انواع میانگین فقط برای داده ها یا متغیرهای کمی گسسته و پیوسته محاسبه می شوند.

مثال 5. در داده های مثال 3 مطلوبست محاسبه میانگین حسابی ساده، میانگین هارمونیک و میانگین هندسی.

حل داریم:

  1. 2.     میانه (Median)    

میانه در یک جامعه یا نمونه عبارت است از داده وسط. برای محاسبه آن در داده های ترتیبی یا کمی جدولبندی نشده ابتدا باید داده ها را به ترتیب صعودی (یا نزولی) مرتب نمود. سپس:

وقتی که n فرداست ، میانه برابر با داده وسط است.

 و وقتی که n زوج است ، میانه برابر با میانگین دو داده وسط است.

میانه برای داده های کمی پیوسته جدولبندی شده از رابطه زیر بدست می آید.

که در آن:

  : کران پایین رده میانه (رده میانه اولین رده ای که فراوانی تجمعی آن بزرگتر یا مساوی   باشد.)

: فراوانی تجمعی رده قبل از میانه

: فراوانی مطلق رده میانه

: طول رده ها است.

نکته 5: میانه برای داده ها یا متغیرهای رتبه ای، کمی گسسته و پیوسته محاسبه می شود.

تمرین.  در تمرین قیمت نفت میانه قیمت نفت را بدست آورید.

  1. 3.     مد یا نما (Mod)

مد یا نما داده ای است که دارای بیشترین فراوانی باشد. در داده های رسته ای (اسمی، کیفی، رتبه ای و کمی گسسته) به سادگی و با توجه به فراوانی مطلق داده ها بدست می آید. و در داده های غیر رسته ای جدولبندی شده از رابطه زیر محاسبه می شود.

که در آن:

  : کران پایین رده مد (رده مد رده ای است که بیشترین فراوانی مطلق را دارد.)

: قدر مطلق تفاضل فراوانی رده مد با رده قبلی.

: قدر مطلق تفاضل فراوانی رده مد با رده بعدی.

: طول رده ها است.

نکته 6: مد برای تمام داده ها یا انواع متغیرها قابل محاسبه است.

تمرین.  در تمرین رنگ کالاها مد رنگ را در صورت وجود، بدست آورید.

تمرین.  در مثال گروه خون مد را در صورت وجود، بدست آورید.

تمرین.  در تمرین قیمت نفت مد قیمت نفت را بدست آورید.

  1. 4.      چندک ها   

چندکها مقادیری هستند که داده های مرتب شده را به چند (چهار، ده یا صد) قسمت مساوی از نظر فراوانی تقسیم می کنند. چندکها شامل چارک ها، دهکها و صدک ها می باشند.

الف) چارک ها:

3 مقدار هستند که داده های مرتب شده را به چهار قسمت مساوی از نظر فراوانی تقسیم می کنند.

ب) دهک ها:

9 مقدارهستند که داده های مرتب شده را به ده قسمت مساوی از نظر فراوانی تقسیم می کنند.

ج) صدک ها:

99 مقدارهستند که داده های مرتب شده را به صد قسمت مساوی از نظر فراوانی تقسیم می کنند.

برای محاسبه چارک، دهک و صدک ها ابتدا آنها را به مفهوم چندک  تبدیل نموده و از رابطه زیر محاسبه می کنیم.  

که در آن:

  : کران پایین رده  (رده  اولین رده ای که فراوانی تجمعی آن بزرگتر یا مساوی   باشد.)

: فراوانی تجمعی رده قبل از

: فراوانی مطلق رده

: طول رده ها است. 

 

مثال 6. در داده های مثال 3 مطلوبست محاسبه میانه، مد، چارک اول، دهک چهارم و صدک هفتادوششم.

حل: می دانیم

تمرین.  در تمرین قیمت نفت چارک اول و دهک ششم و صدک سیزدهم قیمت نفت را بدست آورید.

2-3-2: شاخصهای پراکندگی:

1.  دامنه تغییرات: R     

یکی از شاخصهای پراکندگی تفاوت مینیمم و ماکزیمم است.

فرض کنید نمونه مورد بررسی دارای n عضو                      باشد که در k رده مختلف در جدولی رده بندی شده است. واریانس این داده ها از رابطه زیر بدست می آید:

و یا داریم

انحراف معیار داده ها عبارت است از

مثال 7.  میزان فشار خون 30 بیمار بستری در یک بیمارستان به شرح زیر است:

الف) جدول فراوانی این داده ها را رسم نمایید.

ب) مقادیر میانگین هندسی، هارمونیک، میانه و مد رامحاسبه کنید.

ج) چارک سوم و صدک سی وسوم داده ها را بدست آورید.

د) واریانس و انحراف معیار داده ها را محاسبه نمایید.

7,7,8,8,9,9,9,10,10,10, 10, 11,11,11,12,12,12,12,12, 12,13,13,15,15,16,17,18,20, 20,21

حل:

رده ها

 نشان رده

فراوانی مطلق

فراوانی تجمعی

 فراوانی نسبی

 فراوانی نسبی تجمعی

6.5—9.5

8

7

7

0.23

0.23

9.5—12.5

11

13

20

0.43

0.66

12.5—15.5

14

4

24

0.13

0.8

15.5—18.5

17

3

27

0.1

0.9

18.5—21.5

20

3

30

0.1

1

جمع

 

30

 

1

 

ب)

ج)  

د)

تمرین: در مثال 3 مطلوب است محاسبه:

الف) مقادیر میانگین هندسی، هارمونیک، میانه و مد رامحاسبه کنید.

ب) چارک سوم و صدک سی وسوم داده ها را بدست آورید.

ج) واریانس و انحراف معیار داده ها را محاسبه نمایید.

3-3. برخی نمودارهای آمار توصیفی

 الف) نمودار میله ای      Bar Chart

در این نوع نمودار در محور افقی رده ها یا میله ها و در محورعمودی از فراوانی مطلق یا فراوانی نسبی استفاده می شود.

 ب) نمودار دایره ای   Pie Chart

در این نوع نمودار کل زاویه دایره (360 درجه) به قطاع های مختلفی با زوایای متناسب با فراوانی رده ها تقسیم می شود.

ج) هیستوگرام Histogram   

در این نوع نمودار در محور افقی رده ها یا مستطیل ها و در محور عمودی از فراوانی مطلق یا فراوانی نسبی استفاده می شود.

 د)  چند برفراوانی

اگر در نمودار هیستوگرام وسط مستطیل ها را به هم وصل نماییم، نمودار چند بر فراوانی بدست می آید.

مثال 8. در مثال گروه خونی نمودار های میله ای و دایره ای را رسم نمایید.

نمودار دایره ای:

نمودار میله ای:

مثال 9. در مثال فشار خون نمودار های هیستوگرام و چندبرفراوانی را رسم نمایید.

تمرین: در مثال 3 نمودار هیستوگرام و چندبر فراوانی را رسم نمایید.

تمرین.  در تمرین قیمت نفت نمودارهای مناسب متغیر قیمت نفت را رسم نمایید.

  4-3. مباحث تکمیلی

  1. 1.           ضریب تغییرات:CV

   ضریب تغییرات یا CV یک معیار تلفیقی از شاخصهای تمرکز (میانگین) و شاخصهای پراکندگی (انحراف معیار) است. از این شاخص در بحث مقایسه تولیدات صنعتی استفاده می شود.

 از آنجایی که معمولا مشتریان علاقه مند به داشتن محصولاتی با میانگین (وزن خالص، حجم، اندازه، طول عمر و ...) بیشتر و کیفیت و دقت بالاتر(پراکندگی و خطای کمتر) هستند، لذا محصولاتی مطلوبتر هستند که ضریب تغییرات کمتری دارند.

مثال 10. کارخانه لاستیک سازی A ، لاستیک هایی سواری با متوسط عمر 37000 کیلومتر با انحراف معیار 2500 کیلومتر و کارخانه لاستیک سازی B ، لاستیک هایی سواری با متوسط عمر 43000 کیلومتر با انحراف معیار 3100 کیلومتر تولید می کنند. اگر قیمت این دو نوع لاستیک یکسان باشد، کدامیک از آنها را ترجیح می دهید.

کارخانه

میانگین

انحراف معیار

A

37000

2500

43000

3100

   

  1. 2.     تقارن وعدم تقارن (چولگی Skewness )

همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است، سه حالت مختلف در مورد نمودار پراکنش داده ها وجود دارد.

                 

معیار چولگی پیرسن عبارت است از:

مثال 11.  در مثال 6 ضریب چولگی پیرسن را محاسبه و تفسیرنمایید.

لذا توزیع این داده ها چوله به راست است.

تمرین.  در تمرین قیمت نفت ضریب تغییرات و ضریب چولگی قیمت نفت را بدست آورید.

  1. 3.     ضریب همبستگی

ضریب همبستگی معیاری جهت سنجش میزان ارتباط خطی بین متغیرهاست.

نکته 7. علامت ضریب همبستگی نشاندهنده جهت رابطه دو متغیر(رابطه مستقیم یا معکوس) و اندازه آن نشاندهنده میزان رابطه خطی دو متغیر است. هر چقدر ضریب همبستگی به -1 یا +1 نزدیکتر باشد، نشاندهنده رابطه خطی قویتر بین دو متغیر است و هر چقدر ضریب همبستگی به 0 نزدیک باشد، نشاندهنده رابطه خطی ضعیف (ناهمبستگی) بین دو متغیر است.

مثال 12. داده های زیر مربوط به قد و وزن 10 جوان ایرانی است. بررسی نمایید آیا رابطه معنی داری بین متغیرهای قد و وزن وجود دارد یا خیر؟

 قد

وزن 

1.6

70

1.85

79

1.76

83

1.67

70

1.8

85

1.59

58

1.77

79

1.86

80

1.83

85

1.69

70

 

 

  1. 4.     تمرینها

 

1. میزان بارندگی در 30 روز مختلف در شهری به شرح زیر است:

2,5,7,7,8,9,9,9,10,10, 10, 11,11,11,12,12,12,12,14, 14,16,16,18,20,21,25,25,28, 29,31

الف) جدول فراوانی این داده ها را رسم نمایید.

ب) مقادیر میانگین هندسی، هارمونیک، میانه و مد رامحاسبه کنید.

ج) چارک سوم و صدک سی وسوم داده ها را بدست آورید.

د) واریانس و ضریب تغییرات و ضریب چولگی داده ها را محاسبه نمایید.

و) نمودار هیستوگرام و چند برفراوانی را رسم نمایید.

2. مقدار آلودگی هوا در 40 روز مختلف در تهران به صورت زیراست:

5.1, 5.5, 6, 6, 6, 6, 7, 9, 9.5, 9.9, 10, 10, 11, 11.3, 11.4, 11.5, 13, 13.5, 14, 14, 14, 16, 16, 17, 18, 19, 19, 19.9, 20.5, 21, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 28, 29, 29, 29

الف) جدول فراوانی این داده ها را رسم نمایید.

ب) مقادیر میانگین حسابی ساده، هارمونیک، مد رامحاسبه کنید.

ج) چارک دوم و صدک نود وسوم داده ها را بدست آورید.

د) ضریب تغییرات و ضریب چولگی داده ها را محاسبه نمایید.

و) نمودارهای آماری مناسب برای این داده ها را رسم نمایید.

      5. پرسشهای چهارگزینه ای

1. جمع جبری انحرافات یک دسته از میانگین مساوی چیست؟

(الف) میانگین تقسیم بر تعداد

(ب) میانگین تقسیم بر جذر مجموع اعداد

(ج) میانگین تقسیم بر توان دوم مجموع اعداد

(د) صفر

2. میانگین سرعت شخصی که راهی به طول 55 کیلومتر را با سرعت 30 کیلومتر در ساعت رفته و با سرعت 50 کیلومتر در ساعت برگشته، چقدر است؟


(الف) 38    (ب) 39     (ج) 37.5    (د) 40

 

3.  در منحنی­هایی که دارای چولگی به سمت راست می­باشند، کدام گزینه درست است؟

(الف) مد> میانگین > میانه                          (ب) میانه > میانگین> مد

(ج) میانگین< میانه< مد                              (د) میانگین> میانه> مد   

4.  در یک نمونه به حجم N=100 ، اطلاعات زیر را در مورد میانه  داریم:

-   کران پایین 10 و کران بالای طبقه میانه 20 است،

­- فراوانی تجمعی طبقه ماقبل طبقه میانه 44 است.

میانه را بیابید.

5. واریانس اعداد        کدام است؟

(الف)                     (ب)              (ج)              (د)                     

فصل دوم

 

مبانی احتمال و پیشامدهای تصادفی

 

1. مقدمه

   در زندگی روزمره، در طبیعت و در علوم مختلف، همواره با فرآیندها و پیشامدهایی مواجه هستیم که نتایج یا برآمدهای آنها از قبل قابل پیش بینی نیست. به عبارت دیگر این متغیرها، رخدادها یا پیشامدها بصورت تصادفی رخ می دهند. وقایعی مانند؛ نتیجه پرتاب یک تاس یا سکه، بارندگی در روزهای آتی، زلزله، طول عمر یک  

مثالهایی از این دسته هستند. مدلسازی فرآیندهای تصادفی و پیش بینی این پیشامدها یکی از کاربردهای آمار و نظریه احتمالات است.

    در این فصل مبانی علم احتمال و مفاهیمی چون فضای نمونه، پیشامدها، قوائد شمارش بیان شده است. همچنین مفهوم احتمال، تابع احتمال، اصل موضوع احتمال شرطی استقلال دو پیشامد قانون  و احتمال کل توضیح داده می شود.

 2. تعاریف مقدماتی و جبر پیشامدها

2.1. آزمایش تصادفی

     آزمایشی است که نتیجه یا برآمد آن از قبل مشخص نیست. مانند آزمایش پرتاب یک تاس یا سکه، میزان بارندگی در روزهای آتی، زمان یا شدت زلزله، آزمایش طول عمر یک جاندار یا یک سیستم، قیمت نفت در ماههای آتی، تعداد نوزادانی که از این به بعد در همدان متولد می شوند و ...

2.2. فضای نمونه ای(S)

   به مجموعه کلیه برآمدهای ممکن یک آزمایش تصادفی فضای نمونه می گویند. فضای نمونه برخی آزمایشهای فوق عبارت است از:

  

32.. پیشامد (Event)

   به هر یک از زیرمجموعه های فضای نمونه یک پیشامد گویند. به پیشامد تهی پیشامد محال و به S ، پیشامد حتمی گفته می شود. پیشامدها را با حروف بزرگ لاتین؛ A و B و C و ... نمایش می دهند.

مثال1: فرض کنید آزمایشی دردومرحله انجام شود. ابتدا سکه ای پرتاب می شود.اگر خط بیاید، تاس پرتاب می شود واگر شیر بیاید ، سکه دوباره پرتاب می شود. فضای نمونه ای را تعریف کرده وپیشامدهای زیر را تعریف کنید.

الف. آمدن شیردراولین پرتاب    

ب. آمدن عددی فرد وقتی تاس پرتاب شود .

حل :        

الف.   

 ب.

مثال 2. فرض کنید سکه ای را آنقدر پرتاب می کنیم تا برای اولین بار شیر ظاهر شود .فضای نمونه این آزمایش را مشخص کنید .

حل : این فضای نمونه ای نامتناهی شمارا است. چنین فضای نمونه ای را فضای نمونه ای گسسته نامیم.

مثال 3. فرض کنید یک آزمایش تصادفی عبارتست از اندازه گیری طول عمر یک لامپ بنابراین داریم:

A: پیشامد این که عمر یک لامپ حداقل 100 ساعت باشد.

B: پیشامد آن که عمر لامپ حداکثر 1000 ساعت باشد.                    

C: پیشامد آن که عمر لامپ دقیقا 505 ساعت باشد.

   این فضای نمونه ای، یک فضای پیوستار است. به عبارت دیگر چنین فضای نمونه ای را، فضای نمونه پیوسته گوییم.

   فضای نمونه پیوسته وقتی رخ می دهد که برآمدهای آزمایش ها، اندازه گیری هایی با ویژگی های فیزیکی هستند که بر طبق مقیاس های پیوسته اندازه گیری می شوند. مانند: طول ، دما و ... می توانیم بر اساس پیشامد ها، ترکیبی از پیشامد ها را داشته باشیم.

- پیشامد حتمی: پیش آمدی که یقینا رخ می دهد. در هر آزمایش تصادفی دلخواه S ، پیشامد حتمی است.

- پیشامد ناممکن : پیشامدی که یقینا رخ نمی دهد. در هر آزمایش تصادفی دلخواه ، پیشامد محال است.

42.. جبر پیشامدها (مجموعه ها)

الف) اجتماع دو پیشامد:

اجتماع دو پیشامد          یعنی           پیشامدی است که وقتی رخ می دهد که حداقل یکی رخ دهد .

 الف) اشتراک دو پیشامد:

 اشتراک دو پیشامد        یعنی           وقتی رخ می دهد که        هر دو توام با هم رخ دهند .

ج) تفاضل دو پیشامد:

 تفاضل دو پیشامد        یعنی           وقتی رخ می دهد که    مشاهده گردد ولی     رخ ندهد .

چ) متمم یک پیشامد: متمم پیشامد     یعنی      وقتی رخ می دهد که پیشامد     رخ ندهد.

ح) زیر پیشامد : پیشامد    را زیرمجموعه یا زیرپیشامد      گوییم اگر            در اینصورت رخ دادن     به معنی رخ دادن     می باشد.

خ) ناسازگاری: دو پیشامد         را ناسازگار یا جدا ازهم گوییم هرگاه با هم رخ ندهند . یعنی :

 - تعمیم تعریف ناسازگاری: مجموعه ی پیشامدهای      را دوبه دو ناسازگار گوییم هرگاه :

و) قوانین دمرگان:

فرض کنید A و B دو پیشامد دلخواه از فضای نمونه S باشند در اینصورت

- تعمیم قوانین دمرگان:

3. تعریف احتمال پیشامدها

   فرض کنید A یک پیشامد دلخواه از فضای نمونه S باشد. احتمال وقوع پیشامد A با رویکرد فراوانی نسبی عبارت است از:

که در آن  تعداد حالات مساعد برای رخداد A و  کل حالات ممکن است.

تعریف 1. دو پیشامد A و  B را ناسازگار یا جدا از هم گویند هرگاه:

تعریف 2. دو پیشامد A و  B را مستقل از هم گویند هرگاه:

  مثال 4: فرض کنیم S فضای نمونه ای مربوط به آزمایش سه بار پرتاب یک سکه سالم باشد.  در صورتی که A پیشامد مشاهده حداقل دو شیر، B پیشامد مشاهده شیر و خط بصورت یک در میان و C پیشامد مشاهده دقیقا دو شیر باشند، الف) احتمال پیشامدهای فوق و ب) ناسازگاری و استقلال دو به دو آنها رابررسی نمایید.

الف) داریم              

 و   و 

لذا   ،  ، .

ب) A و B :

داریم   لذا  A و B ناسازگار یا جدا ازهم نیستند. از طرفی

لذا  A و B مستقل ازهم هستند.                                                           

- ادامه حل بر عهده دانشجو.

      اصول احتمال

فرض می کنیم S فضای نمونه ای یک آزمایش باشد. به هر پیشامد A از S عددی به نام احتمال وقوع A که با نماد  نشان می دهیم، نسبت داده که در اصول موضوع زیر صدق می کند.

1)                                           

2)  

3) اگر                     دنباله ای از پیشامدهای دو به دو ناسازگار باشند، یعنی؛

 آنگاه:

مثال 5. فرض کنید    برآمدهای دو به دو ناسازگار از یک آزمایش تصادفی باشند که تعداد آن ها نامتناهی است، تحقیق کنید  آیا  می تواند یک اندازه احتمال قابل قبول باشد.

حل :  می دانیم که         و شرط    که برای این مثال برقرار است.

از طرفی باید               در اینجا  داریم:

بنا براین     می تواند یک اندازه قابل قبول باشد. 

3.2. قضایای احتمال:

قضیه 1.  

   اثبات: می دانیم که:                         و 

لذا

نتیجه: اگر داشته باشیم               و 

قضیه 2. اگر            آنگاه

اثبات: اگر             آنگاه

همچنین                            و می دانیم                                   

لذا                                                                    و چون   لذا .

قضیه 3. اگر A و B  دو پیشامد دلخواه از فضای نمونه S باشند آنگاه داریم:

تعمیم قضیه:

تمرین. اگر A و B دو پیشامد دلخواه از فضای نمونه ای S باشند، و  باشند، مطلوبست محاسبه:  و  و  ؟

تمرین : اگر A و B و C پیشامدهای مستقل فراگیر ( دو به دو و سه تایی مستقل باشند) ثابت کنید:

الف) و  نیز مستقل هستند.

     

    مثال 6: فرض کنید 25% مردم یک شهر روزنامه A و 20% روزنامه B و 13% روزنامه C و 10% روزنامه های A,B و 8% روزنامه های A,C و 5% روزنامه های B,C و 4% همه ی روزنامه ها را می خوانند . احتمال این که شخصی به تصادف از بین مردم این شهر انتخاب شود و هیچ یک از این روزنامه ها را نخواند چقدر است ؟

حل : فرض کنیم E و F و G به ترتیب پیشامدهای خواندن روزنامه های A ، B و C باشند. پس پیشامد آن که شخصی حداقل یکی را بخواند عبارتست از:  لذا

بنابراین:  عبارتست از احتمال این که هیچ یک از روزنامه ها را نخواند.

 4. آنالیز ترکیباتی و قوانین شمارش  

  4.1. اصول شمارش

 4.2. فرمولهای شمارش

              4.3. شمارش با مدل جعبه مهره

 4. آنالیز ترکیباتی و قواعد شمارش  

   گاهی اوقات در مسائل احتمال با فضاهای نمونه ای بزرگی مواجه هستیم که نوشتن عناصر آنها کاری دشوار است. فرض کنید به جای پرتاب دو تاس (n(s)=36) ، سه یا چهار تاس را پرتاب نماییم. در این حالات فضای نمونه به ترتیب 216 و 1296 عضو دارند. که اولی شامل سه تایی مرتب و دومی شامل چهارتایی مرتب است.

   حال فرض کنید بخواهیم احتمال پیشامدهایی در این فضاهای نمونه ای را تعیین نماییم. مثلا در آزمایش تصادفی پرتاب 4 تاس، پیشامد مشاهده مجموع 15 را تعیین نمایید؟ بوضوح تعیین عناصر پیشامدهای زیرمجموعه این فضاهای نمونه ای دشوار است. در این بخش روشها و قوائدی می آموزیم که به کمک آنها بدون نوشتن یا تعیین فضاهای نمونه ای و پیشامدهای زیرمجموعه آن S و A، قادر باشیم n(S) و n(A) را بشماریم و احتمال پیشامدها را از رابطه  محاسبه نماییم.

    مجموعه روش ها و تکنیک هایی که برای شمارش بکار می روند، موضوع آنالیز ترکیبی را تشکیل می دهند.

یکی از موضوعات اساسی در آنالیز ترکیبی اصل های جمع و ضرب است که در عین سادگی اهمیت و کاربرد دارند. بعد از این دو اصل، موضوع ترتیب و ترکیب از موضوعات پرکاربردند که در این قسمت خلاصه ای از آن ها را بیان می کنیم.

4.1. اصول شمارش

الف) اصل جمع

اگر انجام کار  منوط به انجام کارهای      یا       یا ... یا       باشد به نحوی که      به     طریق،     به      طریق، .... و      به      طریق قابل انجام باشند، آنگاه کار اصلی     به                               قابل انجام است.

ب) اصل ضرب                 

اگر انجام کار  منوط به انجام کارهای      و       و  ... و       باشد به نحوی که      به     طریق،     به      طریق، .... و      به      طریق قابل انجام باشند، آنگاه کار اصلی     به                     قابل انجام است.

مثال 7. شخصی به رستورانی مراجعه کرده است و می خواهد یک غذا سفارش دهد. اگر در این رستوران 6 نوع غذای ایرانی، 4 نوع غذای ایتالیایی و 5 نوع غذای چینی سرو گردد، وی به چند طریق می تواند یک غذا سفارش دهد؟

چون این شخص می خواهد یک غذا سفارش دهد. پس یا غذای ایرانی یا غذای ایتالیایی و یا غذای چینی انتخاب می کند. لذا  k=6+4+5=15   انتخاب ممکن دارد.

مثال 8. شخصی به رستورانی مراجعه کرده است و می خواهد یک پرس غذای کامل شامل یک نوشیدنی، یک دسر و یک خوراکی سفارش دهد. اگر در این رستوران 6 نوع غذا، 3 نوشیدنی و 5 دسر ایرانی، 4 نوع غذا، 4 نوشیدنی و 4 دسر ایتالیایی و 5 نوع غذا، 2 نوشیدنی و 2 دسر چینی سرو گردد، وی به چند طریق می تواند یک دست غذا (از یک کشور) سفارش دهد؟

چون این شخص می خواهد یک پرس غذای کامل سفارش دهد. پس یا غذای ایرانی یا غذای ایتالیایی و یا غذای چینی انتخاب می کند. لذا  k=6*3*5+4*4*4+5*2*2=174   انتخاب ممکن دارد.

مثال 9. برای انتخاب شورای صنفی سه نفره دانشجویان، 3 نفر از دانشجویان کامپیوتر، 4 نفر از دانشجویان برق، 2 نفر از دانشجویان ریاضی و 2 نفر از دانشجویان حقوق کاندیدا شده اند. به چند طریق می توان شورای مذکور را انتخاب نمود. به نحوی که از هر رشته حداکثر یک نفر بتواند عضو شورا باشد.

k=(3*4*2)+(3*4*2)+(3*2*2)+(4*2*2)=76

تمرین. اگر فردی سه جوراب سفید، مشکی و طوسی و 4 پیراهن و دو شلوار مختلف داشته باشد: الف) وی به چند طریق مختلف می تواند لباس بپوشد؟ ب) به چند طریق مختلف می تواند با جوراب سفید لباس بپوشد؟ ج) به چند طریق مختلف می تواند با جوراب سفید و پیراهن اول، لباس بپوشد؟

تمرین. اگر فردی به یک آزمون 4 گزینه ای 10 سوالی پاسخ دهد: الف) به چند طریق می تواند به سوالات پاسخ دهد؟ ب) الف) به چند طریق می تواند به سوالات پاسخ دهد به نحوی که پاسخ دو سوال اول حتما صحیح و 5 سوال بعد حتما غلط باشند؟

 4.2. فرمولهای شمارش

   هر گاه بخواهیم از بین n شیء، فرد، عدد و ... مختلف r تا را انتخاب نماییم، بر حسب آنکه ترتیب انتخاب عناصر اهمیت داشته باشد یا نداشته باشد، تعداد طرق انجام این کار از فرمول ترتیب یا ترکیب بدست می آید.

 الف) ترتیب یا جایگشت  Permutation

هر گاه بخواهیم از بین n شیء، فرد، عدد و ... مختلف r تا را به ترتیب انتخاب نماییم، آنگاه تعداد طرق انجام این کارعبارت است از:

 ب) ترکیب   Combination

هر گاه بخواهیم از بین n شیء، فرد، عدد و ... مختلف r تا را انتخاب نماییم، به نحوی که ترتیب انتخاب عناصر اهمیت نداشته باشد،آنگاه تعداد طرق انجام این کارعبارت است از:

مثال 10. از بین 10 نفر از دانشجویان ممتاز گروه کامپیوتر می خواهیم 3 نفر را انتخاب نموده و: الف) به اردو بفرستیم. ب) به آنها هدیه دهیم. به این ترتیب که به نفر اول یک لپ تاب، به دومی یک سکه، به سومی یک فلش مموری هدیه دهیم. هر کدام از این کارها را به چند طریق می توان انجام داد.

الف) چون ترتیب انتخاب مهم نیست لذا تعداد طرق انتخاب عبارت است از:

 ب) چون ترتیب انتخاب در نحوه تقسیم هدایا مهم است لذا تعداد طرق انتخاب عبارت است از:

مثال 11. در مثال شورای صنفی دانشجویان؛

 الف) اگر قرار باشد شورا دقیقا شامل دو رشته مختلف باشد، احتمال آنکه دانشجوی کامپیوتر عضو شورا باشد، چقدر است؟

ب) اگر از هر رشته حداکثر 2 نفر بتواند عضو شورا باشد، احتمال آنکه هیچ دانشجوی برقی عضو شورا نباشد، چقدر است؟

حل الف) اگر قرار باشد شورا دقیقا شامل دو رشته مختلف باشد، آنگاه حتما از یک رشته یک نفر و از رشته دیگر دو نفر عضو شورا خواهد بود. لذا ترکیب رشته های ممکن عبارت است از:

ترکیب شورا: (ب و ک) یا (ب و ر) یا (ب و ح) یا (ک و ر) یا (ک و ح) یا (ر و ح)

ب) بر عهده دانشجو

  

تمرین. در یک بازی با یک دسته کارت 52 تایی ( کارتها دارای 4 رنگ از شماره های 1 تا 13 هستند) الف) 5 کارت به طور تصادفی انتخاب می کنیم. اگر 3 کارت هم شماره و دو کارت دیگر دارای یک شماره دیگر باشند برنده می شویم. احتمال برنده شدن چقدر است؟ ب) اگر 13 کارت به تصادف برداریم، احتمال آنکه دقیقا 4 کارت هم شماره داشته باشیم ، چقدر است؟ ج) اگر 13 کارت به تصادف برداریم، احتمال آنکه حداقل 4 کارت هم شماره داشته باشیم ، چقدر است؟

تمرین.  اگر در یک جعبه مداد رنگی، 4 مداد قرمز مختلف (طیف رنگی)، 3 مداد آبی مختلف، 3 مداد سبز مختلف و 2 مداد قهوه ای متفاوت داشته باشیم. الف) به چند صورت می توان این مدادها را در جعبه کنار هم چید؟ ب) احتمال آنکه همه مداد های از یک رنگ کنار هم باشند چقدر است؟ ج) اگر 7 تا از مدادها نتراشیده باشند، احتمال آنکه هیچکدام از این مدادها کنار هم نباشند، را بدست آورید؟ د) از این جعبه به صورت تصادفی 4 مداد انتخاب می نماییم، احتمال آنکه هیچ مداد قرمزی در بین آنها نباشد، چقدر است؟

 4.3. شمارش با مدل جعبه مهره

هرگاه بخواهیم N جعبه مختلف را با R مهره پر نماییم، و علاقه مند به تعداد طرق انجام این کار باشیم، برحسب آنکه مهره ها متمایز یا غیر متمایز و تکرار مهره ها در جعبه ها مجاز یا غیر مجاز باشد، 4 حالت مختلف داریم:

الف) مهره ها متمایز تکرار مجاز:

ب) مهره ها متمایز تکرار غیر مجاز:

ج) مهره ها غیر متمایز تکرار غیر مجاز:

د) مهره ها غیر متمایز تکرار مجاز:

مثال 12. معادله    چند جواب صحیح نامنفی دارد؟

حل: تعداد جوابهای صحیح و نامنفی این معادله هم ارز تعداد راههای قرار دادن 17 مهره یکسان در 10 جعبه است. به نحوی که تکرار مهرها در داخل جعبه ها مجاز باشد. لذا با توجه به قسمت (د) داریم"

مثال 13. الف) معادله   چند جواب صحیح مثبت دارد؟ ب) احتمال مشاهده یک جواب صحیح مثبت که در آن  باشد، چقدر است؟

حل الف) تعداد جوابهای صحیح و مثبت این معادله هم ارز تعداد راههای قرار دادن 17 مهره یکسان در 10 جعبه است. به نحوی که اولا تکرار مهرها در داخل جعبه ها مجاز باشد ثانیا هیچ جعبه ای خالی نباشد. لذا ابتدا از 17 مهره یکسان 10 عدد را داخل 10 جعبه قرار می دهیم. سپس 7 مهره یکسان را در 10 جعبه قرار می دهیم. بنابراین تعداد جوابهای صحیح و مثبت این معادله هم ارز تعداد راههای قرار دادن 7 مهره یکسان را در 10 جعبه است. لذا

ب) داریم  لذا

تمرین. الف) معادله   چند جواب صحیح نامنفی دارد؟ ب) چند جواب صحیح مثبت دارد؟

تمرین. در بسط چند جمله ای  ضریب جمله  چند است؟ (راهنمایی: فرم کلی این بسط را بنویسید.)

  5. احتمال شرطی و قانون ضرب احتمالات

گاهی اوقات وقوع یا عدم وقوع یک پیشامد، در احتمال وقوع پیشامدی دیگر تاثیر دارد. در این حالات برای بررسی احتمال وقوع پیشامد مورد نظر از رابه احتمال شرطی استفاده می شود.

فرض کنید پیشامدی مانند B رخ داده است. احتمال وقوع A به شرط B که با نماد p(A|B) نشان می دهیم عبارتست از:

5.1.  قانون ضرب احتمالات

اگر A و B  دو پیشامد دلخواه از فضای نمونه S باشند آنگاه

و یا                                               

به محض آن که A و B مستقل از یکدیگر باشند، رابطه بالا به صورت زیر تبدیل می شود:

نکته: اگر A و B پیشامدهای مستقل از یکدیگر باشند داریم:

   مثال 14: فرض کنید جعبه ای شامل 10 لامپ می باشد که دربین آن ها 4 لامپ معیوب وجود دارد. دو لامپ پشت سر هم و بدون جایگذاری استخراج می کنیم. احتمال این که هر دو لامپ معیوب باشند چقدر است؟

حل : پیشامدهای مورد نظر عبارتند از:

 اولی ناسالم :A                           دومی ناسالم :B

لذا                                         

6. قضیه بیز و کاربرد آن

   فرض کنید   افرازی از فضای نمونه ای S باشد به طوریکه به

آنگاه برای هر پیشامد دلخواه B ازS داریم:

اثبات: از فرمول احتمال شرطی داریم

با استفاده از قانون ضرب احتمالات داریم

همچنین

کاربرد قضیه بیز: در مسائلی از احتمالات است که فضای نمونه افراز شده باشد.

مثال 15: فرض می کنیم به ترتیب 30% و 50% و 20% محصولات یک تولیدی بوسیله ی سه دستگاه A ، B وC تولید می شود. از طرفی معلوم شده است که به ترتیب 4% ، 5% و 3% این تولیدات ناقص می باشد. الف) اگر محصولی به تصادف انتخاب شود احتمال این که معیوب باشد چقدر است؟ ب) مطلوب است احتمال اینکه محصولی که به تصادف انتخاب می شود و معیوب است، متعلق به دستگاه C باشد.

حل : الف) 

 A: پیشامد آنکه قطعه انتخابی از دستگاه A باشد

B: پیشامد آنکه قطعه انتخابی از دستگاه B باشد

C: پیشامد آنکه قطعه انتخابی از دستگاه C باشد

D: پیشامد معیوب بودن

ب)

مثال 16. فرض کنید می دانیم 80% دانش آموز سال سوم و 70% دانش آموز سال دوم و 50% دانش آموز سال اول و30 % دانش آموز پیش دانشگاهی از کتابخانه استفاده می کنند. اگر از همه دانش آموزان 30% پیش دانشگاهی، 25% سال اول، 25% سال دوم و 20% سال سوم باشند، در اینصورت چند درصد دانش آموز از کتابخانه استفاده می کنند؟

حل : A : پیشامد آنکه دانش آموز از کتابخانه استفاده می کند  

   F: پیشامد مشاهده دانش آموز پیش دانشگاهی         J : پیشامد مشاهده دانش آموز سال دوم

  O: پیشامد مشاهده دانش آموز سال اول                  E : پیشامد مشاهده دانش آموز سال سوم

7        . تمرینها

  1. احتمال آنکه روزهای تولد یک خانواده ده نفری (متمایز) تمامی روزهای هفته راشامل شود، چقدر است؟
  1. نیروی انتظامی پلاکهای ماشینی تولید می کند که دو حرف الفبا در ابتدا و انتها و سه رقم در وسط دارد. الف) احتمال مشاهده ماشینی با حروف الفبا مشابه و عدد سه رقمی زوج چقدر است؟ ب) احتمال مشاهده ماشینی با عدد سه رقمی فرد بزرگتر از 400 چقدر است؟
  1. دادگاهی با احتمال 0.9 متهمان گناهکار را محکوم و با احتمال 0.75 متهمان بی گناه را تبرئه می کند. اگر 30 درصد متهمان در این دادگاه گناهکار باشند، مطلوبست احتمال آنکه محکوم شدن ناشی از گناهکاری باشد؟

4.در ظرفی 3 مهره سفید و 5 مهره سیاه داریم. دو مهره از این ظرف یک به یک برمی داریم. نشان دهید احتمال سفید بودن مهره اول، برابر احتمال سفید بودن مهره دوم است؟

5. یک خط کش 30 سانتی بطور کاملا تصادفی در امتداد طولش به دو قطعه شکسته است. احتمال آنکه قطعه طویلتر حداقل دو برابر قطعه کوتاهتر باشد، چقدر است؟

8. پرسشهای چهارگزینه ای

1.  تعداد اعداد چهار رقمی که می­توان از ترکیب ارقام 0، 1، 3، 5، 6، 7 و 8 به دست آورد به طوری که در هر عدد رقمی تکرار نگردد و هر عدد بر 5 قابل قسمت باشد، کدام است؟

(الف)180 عدد                 (ب) 220 عدد                        (ج) 55 عدد                      (د) 50 عدد            

      

2. به چند طریق می­توان از میان 3 نماینده استان کرمان، 4 نماینده استان خراسان و 2 نماینده استان سیستان و بلوچستان یک کمیته­ی 5 نفره­ی مبارزه با مواد مخدر تشکیل داد؟

(الف) 98                  (ب) 72                           (ج)144                       (د) هیچ­ کدام

3. شخصی با حرکت­های قایم و افقی (نسبت به بالا و جلو) می­خواهد از A به B  برود. به چند طریق می­تواند این عمل را انجام دهد؟ (اول قائم و بعد افقی یا بالعکس مطرح نیست).

(الف)                 (ب)                   (ج)                     (د)

فصل سوم

 

 متغیر های تصادفی، تابع احتمال، تابع توزیع و تابع چگالی احتمال

 

      1 . مقدمه

   در فصل قبل ملاحظه گردید که فضاهای نمونه ای مختلف برحسب تعریف آزمایشهای تصادفی متنوعی تعریف می شدند. به عبارت دیگر گاهی اوقات، عناصر فضاهای نمونه ای شامل اعداد یا زوج مرتب، حروف انگلیسی یا فارسی، اسامی افراد، شهرها یا اشیا و ... بودند. در این فصل مفهوم یا تابعی تعریف مینماییم (متغیر تصادفی) که با استفاده از آن فضاهای نمونه ای دلخواه در مسائل فصل قبل به فضاهای نمونه ای عددی تبدیل گردد.

 دراین فصل ضمن تعریف متغیر تصادفی و بر حسب این که متغیر تصادفی از نوع گسسته یا پیوسته باشد یک قالب احتمال ارائه می شود. تابع احتمال و تابع چگالی احتمال، تابع توزیع، تابع چگالی احتمال توام، تابع توزیع توام و... از مفاهیم تعریف شده در این فصل می باشد. در پایان نیز با تعریف گشتاورها و تابع مولد احتمال، میانگین واریانس، و برجستگی در جامعه تعریف می شود.

  2 . مفهوم متغیر تصادفی و انواع آن

   تعریف1. یک متغیر تصادفی تابعی از فضای نمونه به مجموعه اعداد حقیقی است به طوری که به هر نقطه از فضای نمونه یک عدد حقیقی را نسبت می دهد.

    معمولا متغیرهای تصادفی را با حروف بزرگ X ، Y ، Z و ... و مقادیر آن ها را با x ، y، z و ... نشان می دهیم. همچنین مجموعه مقادیر یا تکیه گاه متغیرهای تصادفی را با نمادهای    نمایش می دهند.

مثال 1. فرض کنید سه سکه را تواما پرتاب نماییم. اگر X تعداد شیرهای مشاهده شده در سه پرتاب باشد، مجموعه مقادیر X و تابع احتمال آن را تعیین کنید.

و داریم                                         

X : تعداد شیرهای مشاهده شده در سه پرتاب

  لذا             

همچنین

تابع احتمال این متغیر تصادفی عبارت است از:

 

3

2

1

0

 

1

         

و بنابراین                                     

مثال 2. سه مهره به شماره های 1 و2 و 3  را در سه جعبه به شماره های 1 و2 و 3 به صورت تصادفی قرار می دهیم. اگر متغیر تصادفی X برابر تعداد جورها (تعداد مهره هایی که در جعبه هم شماره خودشان قرار دارند) باشد. تکیه گاه X و تابع احتمال آنرا بدست آورید.

حل: داریم                    و

321

312

231

213

132

123

S

0

0

1

1

3

 
 

3

1

0

 

1

       
  1. 3.     تابع احتمال

 

تابع را تابع احتمال متغیر تصادفی X گویند هرگاه:

  1. برای هر  داشته باشیم 

نکته: برای محاسبه احتمال پیشامد  که C زیرمجموعه ای دلخواه از اعداد حقیقی است. داریم:

مثال 3. دو تاس را با هم پرتاب می کنیم، متغیر تصادفی X را برابر مجموع مشاهدات دو تاس در نظر بگیرید.

الف) تابع احتمال X را بدست آورید.

ب) احتمال اینکه مجموع اعداد دو تاس حداکثر 4 باشد، چقدر است؟

ج) احتمال اینکه مجموع مشاهدات دو تاس بین 6 تا 9 باشد چقدر است؟

حل: تکیه گاه X برابر  است. و تابع احتمال X به صورت زیر است:

 

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

 

1

                       

ب)                          

ج)                   

تمرین. در تابع احتمال زیر مقدار c را تعیین نمایید.

 

5

3

1

0

1-

 

0.21

3c

2.c

c

0.09

 

مثال 4. از داخل دایره ای به شعاع R ، نقطه ای به تصادف انتخاب می نماییم و متغیر تصادفی X را فاصله نقطه انتخابی از مرکز دایره در نظر می گیریم. احتمال آنکه فاصله نقطه انتخابی از مرکز کمتر از یک سوم شعاع دایره باشد، چقدر است؟

حل: داریم

نکته: متغیر تصادفی که مجموعه مقادیر آن متناهی یا نا متناهی شمارش پذیر باشد را متغیر تصادفی گسسته و متغیر تصادفی که مجموعه مقادیر آن یک فاصله از اعداد حقیقی یا اجتماعی از چند بازه باشد را متغیر تصادفی پیوسته گویند. متغیرهای تصادفی گسسته دارای تابع احتمال و متغیرهای تصادفی پیوسته دارای توابع چگالی احتمال هستند.

 مثال 5. مقدار k را طوری تعیین کنید که تابع زیر یک تابع احتمال باشد. سپس احتمالات  و  را بدست آورید.

حل: الف) با توجه به تعریف داریم؛

ب) داریم؛ 

ج) بر عهده دانشجو.

4 . تابع توزیع (تجمعی)

   فرض کنید X یک متغیر تصادفی گسسته با تابع احتمال  و تکیه گاه  باشد. آنگاه تابع توزیع تجمعی X که با نماد  نمایش داده می شود، برای هر  بصورت زیر تعریف می شود

مثال 6. در مثال پرتاب سه سکه تابع توزیع X را بدست آورید.

حل: تابع احتمال X عبارت بود از؛

 

3

2

1

0

 

1

         

لذا داریم

 

تمرین. در تمرین قبل تابع توزیع تجمعی را بدست آورید و رسم نمایید ؟

 

تمرین: دو تاس را باهم پرتاب نموده ایم. اگر متغیر تصادفی Y تفاضل مشاهدات دو تاس، Z مینیمم مشاهدات دو تاس و W نسبت مشاهدات دوتاس بر هم باشند، توابع احتمال و توزیع این متغیرها را بدست آورید و رسم نمایید.

تمرین. اگر تابع توزیع تجمعی به فرم زیر باشد، تابع احتمال آن را بدست آورید؟

خواص تابع توزیع 

الف) برای هر

ب)  و

ج) تابع توزیع یک تابع غیر نزولی است یعنی        

د) تابع توزیع همواره از راست پیوسته است یعنی

نکته: از روی تابع توزیع تجمعی یک متغیر تصادفی گسسته می توان تابع احتمال آن را از فرمول زیر بدست آورد:

مثلا در مثال 6 داریم

نکته: روابط احتمالی زیر را در حالت گسسته برحسب تابع توزیع می توان بدست آورد:

مثال 7. در یک کلاس 8 دانشجو داریم که 5 نفر آنها 19 ساله و 3 نفر آنها 21 ساله هستند. از این کلاس بصورت تصادفی 2 نفر انتخاب می کنیم. اگر متغیر تصادفی X میانگین سن دانشجویان انتخابی باشد، تابع احتمال و توزیع X و را بدست آورید.

حل: در اینجا

تابع احتمال X :

 

21

20

19

 

1

       

تابع توزیع X :

همچنین                                 

  1. 5.     توزیع احتمالات پیوسته و تابع چگالی احتمال

   متغیر تصادفی که مجموعه مقادیر آن یک فاصله از اعداد حقیقی یا اجتماعی از چند فاصله عددی باشد را متغیر تصادفی پیوسته گویند. توجه کنید که در متغیرهای تصادفی پیوسته احتمال آنکه متغیر بخواهد تنها یک نقطه (یا تعداد متناهی) از نقاط تکیه گاهش را اختیار کند، صفر است.

 

مثال 8. نقطه ای را به تصادف از اعداد حقیقی [0,2] انتخاب می کنیم. اگر متغیر تصادفی X را برابر نقطه انتخابی در این فاصله در نظر بگیریم، آنگاه X یک متغیر تصادفی پیوسته است و

زیرا بین 0 و 2 بینهایت نقطه وجود دارد که احتمال آنکه متغیر بخواهد تنها یک نقطه (یا تعداد متناهی) از نقاط تکیه گاهش را اختیار کند، صفر است.

به عبارت دیگر اگر a و b دو نقطه از تکیه گاه X باشند داریم:

تابع توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته بصورت زیر تعریف می شود:

تابع  را تابع چگالی احتمال و تابع  را تابع توزیع متغیر تصادفی پیوسته گویند. در توزیع های پیوسته معمولا ابتدا تابع توزیع را بدست آورده و از آن تابع چگالی احتمال را با استفاده از رابطه زیر محاسبه می کنند.

مثال 9. در مثال 8 تابع توزیع متغیر تصادفی X را بدست آورده و از روی آن تابع چگالی احتمالش را محاسبه نمایید.

حل: با توجه به آنکه  و با تعریف تابع توزیع داریم:

اگر x<0 آنگاه   و اگر  آنگاه

و اگر x>2 آنگاه   بنابراین

و در نتیجه

نکته: اگر C=[a,b]  یک بازه دلخواه از مجموعه مقادیر X باشد آنگاه

خواص تابع چگالی احتمال:

متغیر X را دارای تابع چگالی احتمال  گویند هر گاه

الف) برای هر

ب) 

مثال 10. فرض کنید متغیر تصادفی X دارای تابع چگالی احتمال زیر باشد.

الف) مقدار C را تعیین نمایید.

ب) تابع توزیع X را بدست آورید.

ج) احتمالات زیر را محاسبه نمایید.

حل: با توجه به تعریف اولا بایستی C>0 باشد و همچنین

ب) اگر x<1 آنگاه  و اگر  آنگاه

و اگر  آنگاه

بنابراین

ج) داریم

تمرین: الف) در تابع زیر C را طوری تعیین کنید که  یک تابع چگالی احتمال باشد.

ب) همچنین تابع توزیع X را بدست آورید و  را محاسبه کنید.

  1. 6.     توزیع توام متغیرهای تصادفی

 

گاهی اوقات در مسائل احتمالات و در برخی شاخه های علوم مختلف، متغیرهایی وجود دارند که با هم در ارتباط هستند. به عبارت دیگر تغییرات یا رفتار توام دارند. در اینگونه موارد بجای بررسی تک بعدی این متغیرها، توزیع توام آنها را بررسی می نماییم.

مثال 11. فرض کنید سکه ای را سه مرتبه پرتاب نماییم و متغیر تصادفی X را تعداد شیرهای مشاهده شده در سه پرتاب و متغیر تصادفی Y را تعداد خطهای مشاهده شده در دو پرتاب اول بگیریم. در اینصورت داریم:

اما اگر پیشامد مشاهده گردد، دیگر امکان مشاهده  یا  امکان پذیر نیست. لذا تابع احتمال توام X و Y عبارت است از:

P(Y=y)

3

2

1

0

X

Y

     

0

0

0

 

0

   

0

1

 

0

0

   

2

1

       

P(X=x)

 

تعریف تابع احتمال توام:

تابع  را تابع احتمال توام X و Y گویند هرگاه:

  1. برای هر x و y داشته باشیم

نکته: برای محاسبه احتمال قرار گرفتن (X,Y) در یک ناحیه A در صفحه xy در حالت گسسته داریم:

مثال 12. از داخل جعبه ای که شامل 3 توپ آبی، 2 توپ قرمز و 4 توپ سبز است، دو توپ به تصادف و بدون جایگذاری برمی داریم. اگر متغیرتصادفی X را تعداد توپهای آبی در نمونه دوتایی و متغیرتصادفی Y را تعداد توپهای قرمز در نمونه دوتایی بگیریم.

الف) تابع احتمال توام (X,Y) را بدست آورید.

ب)  را محاسبه نمایید.

حل: می دانیم که  همچنین داریم:

لذا تابع احتمال توام (X,Y) عبارت است از:

P(Y=y)

2

1

0

X

Y

       

0

 

0

   

1

 

0

0

 

2

1

     

P(X=x)

توجه کنید که تابع احتمال توام (X,Y) را بصورت زیر نیز می توان نوشت:

ب) داریم

تعریف تابع چگالی احتمال توام:

تابع  را تابع چگالی احتمال توام متغیرهای تصادفی پیوسته (X,Y) گویند هر گاه:

  1. برای هر x و y داشته باشیم

نکته: برای محاسبه احتمال قرار گرفتن (X,Y) در یک ناحیه A در صفحه xy در حالت پیوسته داریم:

 

مثال 13. تابع زیر را در نظر بگیرید.

الف) مقدار c را طوری تعیین نمایید که تابع فوق یک تابع چگالی احتمال توام باشد.

ب)  و  را محاسبه نمایید.

حل: با توجه به تعریف تابع چگالی احتمال توام، بایستی  و همچنین

  

بنابراین باید  باشد.

ب)

برای محاسبه  ابتدا باید ناحیه  را مشخص نماییم. با توجه به شکل زیر داریم

ادامه حل بر عهده دانشجو.

توزیع احتمالات حاشیه ای(کناری):

   با داشتن تابع احتمال (تابع چگالی احتمال) توام متغیرهای تصادفی X و Y، می توان تابع احتمال (تابع چگالی احتمال) کناری  X به تنهایی یا Y به تنهایی را بدست آورد. همچنین با داشتن توابع احتمال (چگالی) توام و توابع احتمال (چگالی) کناری می توان توابع احتمال (چگالی) شرطی را محاسبه نمود.

- تابع احتمال  حاشیه ای  X و تابع احتمال  حاشیه ای Y عبارتند از:

- تابع چگالی احتمال حاشیه ای  X و تابع چگالی احتمال  حاشیه ای Y عبارتند از:

- تابع احتمال  شرطی  X و تابع احتمال  شرطی Y عبارتند از:

- تابع چگالی احتمال  شرطی  X و تابع چگالی احتمال  شرطی Y عبارتند از:

مثال 14. در مثال 11 الف) تابع احتمال کناری X و Y را بدست آورید. ب) تابع احتمال شرطی X به شرط Y=0 و تابع توزیع شرطی به شرط Y=0 را بدست آورید.

تابع احتمال کناری X عبارت است از:

 

3

2

1

0

 

1

         

تابع احتمال کناری Y عبارت است از:

 

2

1

0

 

1

       

همچنین داریم

 

3

2

1

0

 

1

   

0

0

 

لذا داریم

 

3

2

 

1

     

و با توجه به تابع احتمال فوق، تابع توزیع شرطی عبارت است از:

تمرین : در مثال 13 توابع چگالی احتمال حاشیه ای  و  و تابع چگالی احتمال شرطی  و  را بدست آورید.

 

استقلال متغیرهای تصادفی:

متغیرهای تصادفی X و Y را مستقل گویند هرگاه تغییرات X تاثیری بر Y نداشته باشد. به عبارت دیگر:

الف) در حالت گسسته به ازای هر داشته باشیم:

یا

ب) و در حالت پیوسته به ازای هر  داشته باشیم:

     

یا

البته کرانهای دو متغیر نیز باید از هم مستقل باشند.

مثال 15. فرض کنید متغیرهای تصادفی X و Y دارای تابع چگالی احتمال توام زیر باشند.

الف) مقدار C را تعیین نمایید.

ج)  و  را محاسبه نمایید.

د) آیا X و Y مستقل هستند؟ چرا؟

حل: الف)

ب) برای محاسبه احتمال مورد نظر باید ناحیه تغییرات توام (X,Y) و ناحیه مورد نظر در بخش (ب) را تعیین نماییم. این دو ناحیه را به ترتیب با B و A نمایش می دهیم. لذا

 و  با توجه به نمودار زیر داریم:

ج) ابتدا توابع چگالی احتمال کناری و شرطی را محاسبه می نماییم.

همچنین

لذا داریم

د) X و Y از هم مستقل نیستند زیرا اولا ؛ کران تغییر X و Y به هم وابسته است. ثانیا؛

  1. 7.     تمرینها

 

  1. 1.     سکه­ای به گونه­ای طراحی شده است که احتمال شیر آمدن آن  و احتمال خط آمدن آن   است. سکه را 3 بار پرتاب می­کنیم و متغیر تصادفی X را برابر تعداد شیرهای مشاهده شده در نظر می­گیریم. مطلوب است تابع احتمال X، تابع توزیع X و .

نشان دهید که تابع زیر یک تابع توزیع است و تابع احتمال را برای Y تعیین کنید و با استفاده از آن  را محاسبه کنید.

2. فرض کنید متغیر تصادفی X دارای تابع چگالی احتمال زیر است

الف) مقدار c را تعینن کنید.

ب) تابع توزیع X را به دست آورید.

3. فرض کنید متغیر تصادفی X دارای تابع چگالی احتمال زیر است. مطلوب است تابع توزیع X و .

4. فرض کنید متغیر تصادفی X دارای تابع توزیع احتمال زیر است. مطلوب است تابع چگالی X و .

5. فرض کنید متغیر تصادفی X دارای تابع چگالی احتمال زیر است.

الف) مقدار k را بیابید.

ب)  تابع توزیع X را به دست آورید.

ج)  را محاسبه کنید.

6. فرض کنید متغیرهای تصادفی X و Y دارای تابع احتمال توام زیر هستند.

الف) مقدار c را به دست آورید.

ب)  و  را محاسبه کنید.

 7. فرض کنید متغیرهای تصادفی X و Y دارای تابع احتمال توام زیر هستند.

الف) مقدار k را بیابید.

ب)  را محاسبه کنید.

ج) آیا X و Y  مستقل هستند؟ چرا؟

  1. 8.     پرسشهای چهارگزینه ای

  1. اگر تابع احتمال چگالی X به صورت زیر باشد، a چقدر است؟

الف)                       ب)                             ج)                   د)

2. فرض کنید متغیر تصادفی X دارای تابع چگالی احتمال  است به طوری که . مقدار b برابر است با     

الف) مقدار مد توزیع                                               ب) مقدار میانگین توزیع      

ج) مقدار میانه توزیع                                              د) مقدار انحراف معیار توزیع

3. فرض کنید تابع توزیع مدت زمان لازم برای رفع عیب از یک دستگاه برقی بر حسب ساعت به فرم زیر باشد

احتمال این ­که این دستگاه زودتر از یک ساعت و دیرتر از دو ساعت پس از خرابی تعمیر نگردد برابر است با

الف)1                          ب) 0                                   ج) ln 2                       د) ln 2-1                   

4. اگر  و   تابع چگالی احتمال باشد، احتمال پیشامد     کدام است؟

الف)                           ب)                           ج)                                د)

فصل چهارم

 

امید ریاضی، واریانس، کوواریانس و همبستگی متغیرهای تصادفی

 

   1 . مقدمه

   در این فصل مفهوم امید ریاضی یا مقدارمورد انتظار متغیرهای تصادفی معرفی می گردد. منظور از امید ریاضی، متوسط یا میانگین (وزنی) متغیرهای تصادفی است. بر مبنای مفهوم امید ریاضی، شاخصهایی مانند واریانس (شاخص پراکندگی متغیرهای تصادفی)، کوواریانس و ضریب همبستگی (شاخصهای میزان رابطه متغیرهای تصادفی) نیز تعریف می شوند.

    2 . امید ریاضی Expectation

قضیه 1. فرض کنید X یک متغیر تصادفی گسسته (پیوسته) با تکیه گاه  و تابع احتمال  ( تابع چگالی احتمال  باشد. در اینصورت امید ریاضی یا میانگین X عبارت است از

در حالت گسسته:                                                               

و درحالت پیوسته:                                                                    

در صورتی که مجموع یا انتگرال فوق همگرا نباشد می گوییم امید ریاضی وجود ندارد.

مثال 1. فرض کنید از بین 5 مهندس و 3 تکنسین می خواهیم 3 نفر را انتخاب نماییم. امید ریاضی یا میانگین تعداد مهندسین انتخاب شده در نمونه 3 تایی را بدست آورید.

حل: اگر X تعداد مهندسین انتخاب شده در نمونه 3 تایی باشد، آنگاه  و داریم:

لذا تابع احتمال X عبارت است از:

 

3

2

1

0

 

1

         

مثال 2. فرض کنید متغیر تصادفی X نشانگر طول عمر نوعی لاستیک بر حسب سال باشد که دارای تابع چگالی احتمال زیر است. متوسط طول عمر این نوع لاستیک را بدست آورید.

حل:

لذا انتظار داریم که این نوع لاستیک به طور متوسط 2 سال کار کند.

  1. 3.     ویژگیهای امید ریاضی

 

قضیه 2. اگر X وY دو متغیر تصادفی دلخواه و a و b و  c و d مقادیر ثابتی باشند، آنگاه :

الف)  E(a)=a

ب)  E(aX+b)=aE(X)+b

ج) E(aX+bY-c)=aE(X)+bE(Y)-c  

د) امید ریاضی تابعی از یک متغیر یا چند متغیر تصادفی:

اگر X یک متغیر تصادفی و g تابعی دلخواه از X باشند، آنگاه :

در حالت گسسته:                                                                

و درحالت پیوسته:                                                                    

مثال 3. در مثال پرتاب 3 سکه الف) امید ریاضی تعداد شیرهای مشاهده شده در سه پرتاب ب) امید ریاضی توابع   را محاسبه نمایید.

حل الف) تابع احتمال X در آن مثال عبارت بود از:

 

3

2

1

0

 

1

         

لذا

ب) داریم             

  

از طرفی با استفاده از خواص امید ریاضی عبارت فوق را می توان به فرم زیر محاسبه نمود.

          

تمرین : در مثال پرتاب دو تاس، امید ریاضی متغیرهای تصادفی X مجموع مشاهدات دو تاس، Y تفاضل مشاهدات دو تاس، Z مینیمم مشاهدات دو تاس و W نسبت مشاهدات دوتاس را بدست آورید.

امید ریاضی تابعی از دو متغیر تصادفی:

قضیه 3. فرض کنید X و Y دو متغیر تصادفی با تابع احتمال یا تابع چگالی احتمال توام باشند و g یک تابع دو متغیره از X و Y باشد. دراینصورت:

در حالت گسسته:                                              

و درحالت پیوسته:                                                       

مثال 4. با توجه به تابع احتمال توام زیر مطلوبست محاسبه   .

P(Y=y)

1

0

X

Y

0.3

0.2

0.1

0

0.6

0.2

0.4

1

0.1

0

0.1

2

1

0.4

0.6

P(X=x)

مثال 5. فرض کنید متغیرهای تصادفی X و Y دارای تابع چگالی احتمال توام زیر باشند.

امید ریاضی  را محاسبه کنید؟

  1. مفهوم واریانس و ویژگیهای آن

قضیه 4. فرض کنید X یک متغیر تصادفی گسسته (پیوسته) با تکیه گاه  و تابع احتمال  ( تابع چگالی احتمال  باشد. در اینصورت واریانس متغیر تصادفی X عبارت است از:

مثال 6. در مثال پرتاب 3 سکه، واریانس متغیر تصادفی X را بدست آورید.

مثال 7. در مثال 2 واریانس متغیر تصادفی X را بدست آورید.

حل: دیدیم که   لذا

با استفاده از انتگرالگیری جزء به جزء داریم

  1. 5.     مفهوم کوواریانس دو متغیر تصادفی و ویژگیهای آن

در بخشهای قبل این فصل شاخصهای تک متغیره امید ریاضی و واریانس برای یک متغیر تصادفی معرفی گردیدند. در این قسمت کوواریانس که شاخصی دو متغیره جهت بررسی میزان رابطه دو متغیر است بصورت زیر تعریف می شود.

نکته 1: برای محاسبه کوواریانس از تابع احتمال توام دو متغیر مورد نظر استفاده می شود.

مثال 8. در مثال 4 کوواریانس X و Y را بدست آورید.

حل: با توجه به تابع احتمال توام X و Y داریم:

مثال 9. در مثال 13 فصل قبل با تابع چگالی احتمال توام زیر، مقدار کوواریانس را بدست آورید.

حل: داریم

نکته 2. برای هر دو متغیرتصادفی دلخواه X و Y همواره  است.

  1. 6.     مفهوم همبستگی دو متغیر تصادفی و ویژگیهای آن

   ضریب همبستگی دو متغیر تصادفی نیز مانند کوواریانس،  شاخصی دو متغیره جهت بررسی میزان رابطه دو متغیر است و بصورت زیر تعریف می شود.

نکته 3. برای محاسبه همبستگی دو متغیر، ابتدا باید مقادیر کوواریانس دو متغیر و واریانسهای آنها را محاسبه نمود. همچنین با توجه به رابطه فوق همواره  

نکته 4. علامت ضریب همبستگی نشاندهنده جهت رابطه دو متغیر(رابطه مستقیم یا معکوس) و اندازه آن نشاندهنده میزان رابطه خطی دو متغیر است. هر چقدر ضریب همبستگی به -1 یا +1 نزدیکتر باشد، نشاندهنده رابطه خطی قویتر بین دو متغیر است و هر چقدر ضریب همبستگی به 0 نزدیک باشد، نشاندهنده رابطه خطی ضعیف (ناهمبستگی) بین دو متغیر است.

   ضریب همبستگی معرفی شده در فصل اول را ضریب همبستگی نمونه ای و ضریب همبستگی این فصل را ضریب همبستگی جامعه گویند.

مثال 10. با توجه به تابع احتمال توام مثال 4، ضریب همبستگی را محاسبه نمایید.

حل: با توجه به تابع احتمال توام داریم

P(Y=y)

1

0

X

Y

0.3

0.2

0.1

0

0.6

0.2

0.4

1

0.1

0

0.1

2

1

0.4

0.6

P(X=x)

  1. تمرینها
  1. در مثال 9 ضریب همبستگی را محاسبه نمایید.
  1. اگر متغیر تصادفی X دارای تابع توزیعی بفرم زیر باشد، مقدار k را تعیین نمایید. سپس امید ریاضی و واریانس را محاسبه کنید.
  1. اگر متغیرهای تصادفی X و Y دارای تابع احتمال توامی بفرم زیر باشند، نشان دهید  اما X و Y مستقل نیستند.

1

0

-1

X

Y

     

-1

     

0

     

1

4.فرض کنید X دارای تابع چگالی احتمالی بفرم زیر باشد

و  باشد. مطلوبست محاسبه  و .

 فصل پنجم

برخی توزیعهای احتمال خاص

  1. 1.     مقدمه

   در فصل سوم در مورد توزیع های احتمال گسسته و پیوسته و نحوه تعریف آنها بحث شد. در این فصل چند توزیع احتمال شناخته شده و پر کاربرد آماری معرفی می شوند. برخی از این توزیع ها یا مدلهای آماری در علوم فنی مهندسی و صنعت، پزشکی، اقتصاد و مدیریت و ... کاربرد دارند.

    2 . متغیرهای تصادفی گسسته مهم

  2-1 . متغیر تصادفی یکنواخت گسسته

متغیر تصادفی X را دارای توزیع یکنواخت گسسته گویند هرگاه دارای تابع احتمالی بفرم زیر باشد.

در واقع در توزیع یکنواخت گسسته همه نقاط هم احتمال هستند. امید ریاضی توزیع یکنواخت گسسته عبارت است از:

تمرین: واریانس متغیر تصادفی یکنواخت گسسته را محاسبه نمایید؟

شکل تابع احتمال و تابع توزیع تجمعی متغیر تصادفی گسسته بفرم زیر است.

2-2 . متغیر تصادفی دو جمله ای

 هرگاه یک آزمایش دو حالته (پیروزی – شکست) را که احتمال مشاهده پیروزی در هر آزمایش برابر p و احتمال مشاهده شکست برابر q=1-p است را n بار تکرار نماییم و متغیر تصادفی X را تعداد پیروزیها در n آزمایش بگیریم، آنگاه X را دارای توزیع دو جمله ای با پارامترهای n و p گویند. متغیر دو جمله ای دارای تابع احتمالی بفرم زیر است:

مثال 1. دانشجویی به صورت کاملا تصادفی به یک آزمون چهارگزینه ای 10 سوالی پاسخ می دهد. الف) احتمال آنکه وی دقیقا به 5 سوال پاسخ دهد چقدر است؟ ب) احتمال آنکه حداکثر به 3 سوال پاسخ صحیح دهد، چقدر است؟

حل: الف) در واقع در این مثال یک آزمون پیروزی – شکست را با n=10  و p=0.25  داریم. لذا

ب)

  

 

تمرین: فردی سکه ای را که احتمال مشاهده شیر آن یک سوم احتمال مشاهده خط آن است را متوالیا 15 مرتبه پرتاب نموده است. الف) احتمال مشاهده حداقل 3 بار شیر چقدر است؟ ب) احتمال آنکه تعداد شیرهای مشاهده شده بیش از تعداد خطها باشد، چقدر است؟ ج) احتمال آنکه این فرد تعداد زوج مرتبه خط مشاهده کند، چقدر است؟

مثال 2. امید ریاضی و واریانس توزیع دو جمله ای با تابع احتمال زیر را بدست آورید؟

الف) امید ریاضی:

با قرار دادن y=x-1   داریم:

ب) محاسبه واریانس: برعهده دانشجو (راهنمایی: برای محاسبه واریانس ابتدا  را بدست آورید.)

 2-3. متغیر تصادفی پواسون

   اگر متغیر تصادفی X تعداد مشاهدات یا رخدادهای خاصی در یک بازه (فاصله) زمانی، مکانی و ... باشد به نحوی که متوسط تعداد مشاهدات یا رخدادهای مورد نظر در همان بازه (فاصله) زمانی، مکانی و ... مقدار معلوم  باشد، X را دارای توزیع پواسون با پارامتر  گویند. تابع احتمال X عبارت است از:

مثال 3. ثابت کنید تابع زیر  یک تابع احتمال است.

حل: با توجه به مقادیر X ، واضح است که   همچنین

که بسط جمله سوم در عبارت فوق بسط مک لوران نامیده می شود.

مثال 4. یک تایپیست بطور متوسط در هر صفحه مرتکب 3 غلط تایپی می شود. مطلوبست محاسبه احتمال آنکه:

الف) در یک فصل 11 صفحه ای 20 غلط تایپی داشته باشد؟ ب) احتمال آنکه در یک صفحه از کارش، اصلا غلط تایپی نداشته باشد؟

حل: در این مثال  است و در قسمت (الف) داریم  لذا

ب)                                              

تمرین:  اگر پارچه های تولیدی یک کارخانه بطور متوسط در هر متر مربع دارای 2 زدگی باشد و شخصی 2.5 متر از پارچه های این کارخانه خریداری کرده باشد، الف) احتمال آنکه پارچه وی حداکثر 3 زدگی داشته باشد، چقدر است؟ ب) احتمال آنکه پارچه وی بیش از 1 زدگی داشته باشد، چقدر است؟ احتمال آنکه تعداد زدگی های پارچه وی عددی فرد باشد، چقدر است؟

2-4. متغیر تصادفی هندسی

    هرگاه یک آزمایش دو حالته (پیروزی – شکست) را که احتمال مشاهده پیروزی در هر آزمایش برابر p و احتمال مشاهده شکست برابر q=1-p است،  آنقدر تکرار کنیم تا برای اولین بار پیروزی مشاهده شود. در صورتی که متغیر تصادفی X را تعداد آزمایش های لازم برای دیدن اولین پیروزی بگیریم، آنگاه X را دارای توزیع هندسی با پارامترp گویند و X دارای تابع احتمالی بفرم زیر است:

مثال 5. فردی تاسی را که احتمال مشاهده وجه شش آن نصف احتمال مشاهده سایر وجه های آن است، را آنقدر پرتاب می نماید تا برای اولین بار شش مشاهده کند.

 الف) احتمال مشاهده اولین 6 در سومین پرتاب، چقدر است؟ ب) احتمال آنکه این فرد تعداد زوج مرتبه وجه زوج  مشاهده کند، چقدر است؟

 حل: اگر X : تعداد پرتابهای لازم برای مشاهده اولین شش باشد، داریم  لذا

ب) اگر X : تعداد پرتابهای لازم برای مشاهده اولین وجه زوج باشد، داریم  لذا احتمال مطلوب عبارت است از

مثال 6. ثابت کنید تابع زیر یک تابع احتمال است.

حل: اولا می دانیم هر کدام از جملات   مثبت است. همچنین داریم

تمرین: امید ریاضی و واریانس توزیع هندسی با تابع احتمال فوق را بدست آورید.

2-4. متغیر تصادفی فوق هندسی

   فرض کنید جامعه ای با N عضو داریم که k تای آنها از نوع اول و بقیه ازنوع (یا انواع) دیگر هستند. اگر یک نمونه n تایی از این جامعه بگیریم و متغیر تصادفی X را تعداد عناصر نوع اول در نمونه n تایی باشد، آنگاه X دارای تابع احتمالی بفرم زیر است:

مثال 7. کیسه ای شامل 5 مهره سبز، 12 مهره سفید و 3 مهره سیاه است، از این کیسه 4 مهره برمی داریم. مطلوبست محاسبه:

الف) اگر X تعداد مهره های سبز و Y تعداد مهره های سیاه در نمونه 4 تایی باشند، توابع احتمال X و Y را بدست آورید.

ب) احتمال آنکه تعداد مهره های سیاه در نمونه 4 تایی حداقل 2 تا باشد، چقدر است.

حل: با توجه به تعریف  X و Y دارای توزیعهای فوق هندسی هستند و داریم:

تابع احتمال X :      

تابع احتمال Y:          

با قرار دادن مقادیر X و Y در توابع فوق، احتمالات در نقاط مورد نظر بدست می آید.

3 . متغیرهای تصادفی پیوسته مهم

3-1 . متغیر تصادفی یکنواخت پیوسته

   متغیر تصادفی X را دارای توزیع یکنواخت پیوسته در فاصله (a,b) گویند، هرگاه دارای تابع چگالی احتمالی بفرم زیر باشد.

مثال 8. امید ریاضی، واریانس و تابع توزیع تجمعی متغیر تصادفی یکنواخت پیوسته را بدست آورده و تابع توزیع آن را رسم کنید.

حل: اگر   داریم

و اگر   داریم

و اگر   داریم

لذا

امید ریاضی و واریانس)

3-2 . متغیر تصادفی نمایی

متغیر تصادفی X دارای توزیع نمایی است، هرگاه دارای تابع چگالی احتمالی بفرم زیر باشد.

نکته: معمولا در بررسی توزیع های طول عمر سیستمها از توزیع نمایی استفاده می شود.

مثال 9. میانگین توزیع نمایی را بدست آورید.

 

تمرین: تابع توزیع و واریانس توزیع نمایی را بدست آورید؟

تمرین: طول عمرلامپ تصویرهای یک شرکت دارای توزیع نمایی با میانگین 1250 ساعت است.

الف) احتمال آنکه یک لامپ تصویر حداقل 1000 ساعت عمر کند، چقدر است؟

ب) احتمال آنکه در یک بسته 12 تایی از تولیدات این کارخانه، طول عمر دو لامپ تصویر در فاصله [100,1000] باشد، چقدر است؟

3-3. متغیر تصادفی نرمال

   متغیر تصادفی X دارای توزیع نرمال با میانگین  و واریانس  است، هرگاه دارای تابع چگالی احتمالی بفرم زیر باشد.

خواص توزیع نرمال:

  1. منحنی نرمال تنها دارای یک نقطه ماکزیمم در نقطه است.
  2. منحنی نرمال دارای دو نقطه عطف در نقاط  و  است.
  3. منحنی نسبت به خط  متقارن است. یعنی
  4. مساحت زیر منحنی نرمال برابر 1 است.

برای محاسبه گزاره های احتمالی مانند  یا  یا  باید از تابع چگالی احتمال نرمال در بازه های مورد نظر انتگرال گرفت یعنی

محاسبه انتگرال های فوق دشوار است و از روشهای عددی بدست می آیند. به منظور رفع این مشکل و برای محاسبه احتمالاتی مانند بالا بدون استفاده از انتگرالگیری از جدولی با نام جدول نرمال استاندارد استفاده می شود. برای استفاده از جدول نرمال ابتدا باید متغیر نرمال را بصورت زیر استاندارد کرد.

3-4. متغیر تصادفی نرمال استاندارد

   اگر متغیر تصادفی دلخواه X دارای توزیع نرمال با میانگین  و واریانس  باشد، آنگاه متغیر تصادفی  دارای توزیع نرمال با میانگین 0 و واریانس 1 است که به آن نرمال استاندارد می گویند. توزیع نرمال استاندارد، تمامی خواص توزیع نرمال را دارد. برای محاسبه گزاره های احتمالی بر مبنای توزیع نرمال استاندارد، جداول نرمال استاندارد وجود دارد.

مثال 10. فرض کنید متغیر تصادفی X دارای توزیع نرمال با میانگین  و واریانس  باشد. برای محاسبه گزاره های احتمالی مانند  یا  یا  داریم:

مثال 11. وزن نوزادان متولد شده در یک بیمارستان دارای توزیع نرمال با میانگین 3.2 و انحراف معیار 0.75 کیلوگرم است.

الف) احتمال مشاهده نوزادی با وزن کمتر از 3.5 کیلو چقدر است؟

ب) احتمال اینکه وزن نوزادی در فاصله [2.65,3.4]  باشد، چقدر است؟

تمرین: اگر در بیمارستان مثال قبل، در هفته قبل 12 نوزاد به دنیا آمده باشند. الف) احتمال آنکه حداکثر وزن 3 نوزاد کمتر از 3.5 باشد، چقدر است؟ ب) احتمال آنکه حداقل 2 نوزاد وزنشان در فاصله [2.65,3.4] باشد، چقدر است؟

  1. تمرینها

1. ثابت کنید تابع احتمالی بفرم زیر، یک تابع احتمال است؟

(راهنمایی: از بسط دوجمله ای خیام – نیوتن  استفاده کنید.)

  1. میانگین و واریانس متغیر تصادفی پواسون با تابع احتمال زیر را بدست آورید؟
  1. اگر سن افراد در زمان تشخیص بیماری خاصی از توزیع نرمال با میانگین 11.5 و انحراف معیار 3 سال پیروی نماید، در صورتی که کودکی مبتلا به این بیماری مشاهده شده باشد، احتمال آنکه سن او:

الف) بین 8.5  و 17.5 سال باشد.

ب) بیش از 10 سال باشد.

ج) کمتر از 12 سال باشد، چقدر است؟

4. اگر تعداد مراجعین به یک مرکز مخابراتی بطور متوسط 72 نفر در ساعت باشد، الف) احتمال اینکه 4 نفر در سه دقیقه اول به درمانگاه مراجعه کنند چقدر است؟ ب) احتمال اینکه در یک دقیقه که برق مرکز قطع شده است، هیچکس به درمانگاه مراجعه نکند چقدر است؟

5. اگر طول متوسط اقامت در بیمارستان، در یک بیماری خاص 60 روز با انحراف معیار 15 روز باشد و تجربه نشان دهد که مدت اقامت دارای توزیع نرمال است. احتمال آنکه

الف) مدت اقامت بیش از 50 روز باشد.

ب) مدت اقامت بین 30 تا 60 روز باشد، چقدر است؟

ج) اگر پذیرش بیمارستان مدت اقامت همه بیماران را در ماه قبل به ترتیب تاریخ در دفتر ثبت نموده باشد، احتمال اولین بیماری که بیش از 50 روز در بیمارستان اقامت داشته، دهمین بیمار مراجعه کننده در ماه قبل باشد، چقدر است؟

 

مطالب مرتبط

آموزش آمار توصیفی

آموزش انتخاب موضوع تحقیق

آموزش خلاصه روش تحیق

آموزش روش تحقیق در رشته تاریخ

آموزش کامل روش تحقیق

انواع تحقیق در علوم رفتاری

حجم نمونه با جدول مورگان

روش های تحقیق در علوم رفتاری و علوم انسانی

مراحل انجام یک تحقیق

مفروضه های تحلیل واریانس مکرر

پیگیری سفارشات


لطفا شماره سفارش خود را وارد نمایید